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[VIC] 数学几何题求助！ [复制链接]

发表于 2024-12-17 14:37 |显示全部楼层

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本帖最后由不是小胖子于 2024-12-17 15:39 编辑

三角形ABC中，三条高如图交于点H，∠A的平分线AF依次交两条高BM、CN于D、E。
XE、XD为三角形DEH外接圆的切线。
K在BM上，且XK=XD。
L为CX与AH的交点。
求证：KL⊥AH。

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管閒事的路人

皮靴族

发表于 2024-12-17 21:24 |显示全部楼层

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本帖最后由管閒事的路人于 2024-12-18 02:49 编辑

大概：
設 <EKD = b, KDE = a, <BAF = <CAF = c 然後：
(1) <EDH= a+b
(2) <EDH＋<DAM = 90
(3) a+b+c = 90
考慮圓心在X，通過E,D,K的圓
(4) <KXD = 2a
(5) <DXE = 2b
考慮等邊三角形EXK, (3), (4), (5)，得
(6)<XEK = c
(7)<XED = a + c
因XE是切綫，
(8)<EHD = a+c
考慮四邊形ANHM，得
(9)<EHD = <NAM = 2a
(8),(9) 得
(10) a = c
<DEH = <NEA = 90 - <EAN = 90 - a = a+b
<KEH = a + a + b = 90
KE 和CN垂直。

於AG上選點L' 讓 KL' 和AG垂直。
顯然 K,X,E,H,L' 共圓
XL'K = XKE = a

然後 HKL‘ 和 HBG 相似， HKE 和 HBN 相似
得 HE ： EN = HK： KB = HL'：L'G
CHG 和 AHN 也相似
結合以上兩點可得 CL'G 和AEN 也相似
<L'CG = <EAN = a = <XL'K
因<XL'K = <L'CG, 而且 KL' 和CG平行，得出 XL'C是直綫，所以L’就是L
證畢